Théorème fondamental de l'analyse : énoncé (MPSI)

Soit $x_0\in I$ et $h\neq0$ tel que $x_0+h\in I$. Par Chasles, $F(x_0+h)-F(x_0)=\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,\mathrm{d}t$. Comme $\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)\,\mathrm{d}t=hf(x_0)$ : $$\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)=\frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}\big(f(t)-f(x_0)\big)\,\mathrm{d}t.$$ Notons $\delta(h)=\sup\{|f(t)-f(x_0)|:t\text{ entre }x_0\text{ et }x_0+h\}$. Par l'inégalité de la moyenne (en tenant compte de l'ordre des bornes) : $$\left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|\le\frac{1}{|h|}\times|h|\,\delta(h)=\delta(h).$$ Soit $\varepsilon>0$. Par continuité de $f$ en $x_0$, il existe $\eta>0$ tel que $|t-x_0|\le\eta$ implique $|f(t)-f(x_0)|\le\varepsilon$. Donc, pour $0<|h|\le\eta$, $\delta(h)\le\varepsilon$. Ainsi $\delta(h)\to0$ quand $h\to0$, et $F$ est dérivable en $x_0$ de dérivée $f(x_0)$.

$F'=f$ est continue, donc $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$. Enfin $F(a)=0$, et toute autre primitive nulle en $a$ diffère de $F$ d'une constante nulle.