Prépa, 1re année › Intégration sur un segment › Étudier $x\mapsto\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t$
Étudier $x\mapsto\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t$ : méthode (MPSI)
Méthode
Étudier $x\mapsto\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t$
- Vérifier que $f$ est continue sur un intervalle $I$ contenant toutes les valeurs $u(x)$ et $v(x)$.
- Introduire une primitive $F$ de $f$ sur $I$ (son existence suffit) et écrire $G=F\circ v-F\circ u$.
- Dériver : $G'=v'\times f\circ v-u'\times f\circ u$. Ne pas oublier les facteurs $u'$ et $v'$.
- Étudier le signe de $G'$, puis utiliser des encadrements de $f$ pour obtenir des limites de $G$.
Attention
Fonction seulement continue par morceaux
Si $f$ est seulement continue par morceaux, $F:x\mapsto\int_a^x f$ est continue (et même lipschitzienne, de rapport $\sup|f|$ sur un segment), mais pas forcément dérivable.
Exemple : $f=\lfloor\cdot\rfloor$ sur $[0,2]$. Pour $x\in[0,1]$, $F(x)=0$ ; pour $x\in[1,2]$, $F(x)=x-1$. La dérivée à gauche en $1$ vaut $0$, la dérivée à droite vaut $1$ : $F$ n'est pas dérivable en $1$.
S’entraîner
- Intégrale de la fonction en escalier $t\mapsto\lfloor t^2\rfloor$
- Une intégration par parties avec l'arctangente
- Un changement de variable $t=\sqrt x$
- Une fonction définie par une intégrale à bornes variables
- Une suite d'intégrales $\int_0^1 x^ne^x\,\mathrm{d}x$
Dans le cours
Intégration sur un segment : Étudier $x\mapsto\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t$