Théorème de HeineDécouper le domaine en un segment et un voisinage de l'infiniDistinguer une implication de sa réciproque
Soit $f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ continue, admettant une limite finie $\ell$ en $+\infty$.
- Montrer que $f$ est uniformément continue sur $[0, +\infty[$.
- En déduire que $\arctan$ et la fonction $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$, prolongée par $1$ en $0$, sont uniformément continues sur $[0, +\infty[$.
- La réciproque de la question 1 est-elle vraie ?
Indice 1
Avec $\frac{\varepsilon}{2}$ dans la définition de la limite, contrôler $|f(x) - f(y)|$ lorsque $x$ et $y$ sont tous deux grands.
Indice 2
Appliquer le théorème de Heine sur $[0, A + 1]$ et imposer $\eta \leq 1$.
Indice 3
Penser à la racine carrée.
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