Alignement et orthogonalité : méthode (MPSI)
Alignement et orthogonalité
Pour $A,B,C$ distincts d'affixes $a,b,c$, on forme $Z=\dfrac{c-a}{b-a}$ :
- $A,B,C$ alignés $\iff Z\in\mathbb{R}$ ;
- $(AB)\perp(AC)\iff Z\in i\mathbb{R}$ ;
- $ABC$ rectangle isocèle en $A$ $\iff Z=\pm i$ ;
- $ABC$ équilatéral $\iff Z=e^{\pm i\pi/3}$.
Pour montrer que $Z$ est réel ou imaginaire pur, on utilise la méthode du conjugué vue plus haut.
Un triangle rectangle isocèle
$A(1)$, $B(3+i)$, $C(-i)$. Alors $\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{-1-i}{2+i}=\dfrac{(-1-i)(2-i)}{5}=\dfrac{-2+i-2i+i^2}{5}=\dfrac{-3-i}{5}$. Ce n'est ni réel ni imaginaire pur. Essayons le sommet $B$ : $\dfrac{c-b}{a-b}=\dfrac{-3-2i}{-2-i}=\dfrac{3+2i}{2+i}=\dfrac{(3+2i)(2-i)}{5}=\dfrac{8+i}{5}$. Puis le sommet $C$ : $\dfrac{b-c}{a-c}=\dfrac{3+2i}{1+i}=\dfrac{(3+2i)(1-i)}{2}=\dfrac{5-i}{2}$. Aucun angle n'est droit. En revanche, avec $C'(2-i)$ : $\dfrac{c'-a}{b-a}=\dfrac{1-i}{2+i}=\dfrac{(1-i)(2-i)}{5}=\dfrac{1-3i}{5}$, pas droit en $A$ non plus ; et $\dfrac{a-c'}{b-c'}=\dfrac{-1+i}{1+2i}=\dfrac{(-1+i)(1-2i)}{5}=\dfrac{1+3i}{5}$. La méthode tranche sans figure : on teste chaque sommet en calculant un seul quotient.