Prépa, 1re année › Nombres complexes › Décomposition d'une similitude directe
Décomposition d'une similitude directe : énoncé (MPSI)
Théorème
Décomposition d'une similitude directe
Soit $f:z\mapsto az+b$ avec $a\in\mathbb{C}^*$.
- Si $a=1$, $f$ est la translation de vecteur d'affixe $b$.
- Si $a\neq1$, $f$ a un unique point fixe $\Omega$ d'affixe $\omega=\dfrac{b}{1-a}$, et pour tout $z$ : $$f(z)-\omega=a(z-\omega).$$ En écrivant $a=\rho e^{i\alpha}$ ($\rho>0$), $f$ est la composée (commutative) de la rotation de centre $\Omega$ d'angle $\alpha$ et de l'homothétie de centre $\Omega$ de rapport $\rho$. On dit que $f$ est la similitude de centre $\Omega$, de rapport $\rho=|a|$ et d'angle $\alpha=\arg a$.
Une similitude directe multiplie les distances par $|a|$ et conserve les angles orientés.
Démonstration : Décomposition d'une similitude directe
Démonstration
Preuve
Si $a\neq1$ : $f(\omega)=\omega\iff a\omega+b=\omega\iff\omega=\dfrac{b}{1-a}$, d'où l'unicité du point fixe. En soustrayant $\omega=a\omega+b$ à $f(z)=az+b$, on obtient $f(z)-\omega=a(z-\omega)$. Avec $h:z\mapsto\omega+\rho(z-\omega)$ et $r:z\mapsto\omega+e^{i\alpha}(z-\omega)$, on a $h(r(z))-\omega=\rho e^{i\alpha}(z-\omega)=r(h(z))-\omega$, donc $f=h\circ r=r\circ h$.
Distances : $|f(z)-f(z')|=|a(z-z')|=|a|\,|z-z'|$. Angles : $\dfrac{f(c)-f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)}=\dfrac{a(c-a_0)}{a(b_0-a_0)}=\dfrac{c-a_0}{b_0-a_0}$ pour des points $A_0,B_0,C$ convenables.