Traduire l'orthogonalité en complexesMontrer qu'un complexe est imaginaire purReconnaître une droite ou un cercle à partir d'une équation
Pour $z\in\mathbb{C}$, on considère les points $A$, $M$, $N$ d'affixes respectives $1$, $z$, $z^2$.
- Déterminer les $z$ pour lesquels $A$, $M$, $N$ sont deux à deux distincts.
- On suppose cette condition réalisée. Déterminer l'ensemble des $z$ pour lesquels le triangle $AMN$ est rectangle en $A$, puis rectangle en $M$, puis rectangle en $N$. Décrire géométriquement chaque ensemble.
Indice 1
Le triangle est rectangle en $A$ si et seulement si $\frac{n-a}{m-a}$ est imaginaire pur ; adapter pour les autres sommets.
Indice 2
Simplifier chaque quotient en factorisant $z^2-1$ et $z^2-z$.
Indice 3
Pour l'angle en $N$, écrire $\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}$ puis poser $z=x+iy$.
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