Reconnaître une transformation z ↦ az + b : méthode (MPSI)

Ici $a=1+i\neq1$. Point fixe : $\omega=(1+i)\omega+1\iff-i\omega=1\iff\omega=i$. Contrôle : $(1+i)i+1=i-1+1=i$. Comme $1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}$, on a $f(z)-i=\sqrt2e^{i\pi/4}(z-i)$ : $f$ est la similitude de centre $\Omega(i)$, de rapport $\sqrt2$ et d'angle $\frac\pi4$. Elle transforme un cercle de rayon $R$ en un cercle de rayon $R\sqrt2$.

On cherche la similitude directe $f$ qui envoie $A(0)$ sur $A'(1)$ et $B(1)$ sur $B'(1+2i)$. On écrit $f(z)=az+b$ : $f(0)=b=1$ et $f(1)=a+1=1+2i$, d'où $a=2i$. Donc $f(z)=2iz+1$ : rapport $2$, angle $\frac\pi2$, centre $\omega=\dfrac{1}{1-2i}=\dfrac{1+2i}{5}$. En général, il existe une unique similitude directe envoyant deux points distincts $A,B$ sur deux points distincts $A',B'$ : le système $aa_0+b=a'$, $ab_0+b=b'$ donne $a=\dfrac{b'-a'}{b_0-a_0}\neq0$.