Prépa, 1re année › Nombres complexes › Seconde inégalité triangulaire
Seconde inégalité triangulaire : énoncé (MPSI)
Propriété
Seconde inégalité triangulaire
Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ : $$\big||z|-|z'|\big|\leqslant|z-z'|\leqslant |z|+|z'|.$$ Preuve : $|z|=|(z-z')+z'|\leqslant|z-z'|+|z'|$ donne $|z|-|z'|\leqslant|z-z'|$ ; en échangeant les rôles, $|z'|-|z|\leqslant|z-z'|$. La majoration de droite est l'inégalité triangulaire appliquée à $z$ et $-z'$.
Remarque
Lecture géométrique
Si $A$ et $B$ ont pour affixes $a$ et $b$, alors $AB=|b-a|$. L'ensemble $\{z\in\mathbb{C}:|z-a|\leqslant r\}$ est le disque fermé de centre $A$ et de rayon $r$ ; $\{z:|z-a|=r\}$ est le cercle correspondant. L'inégalité triangulaire exprime $AC\leqslant AB+BC$.