Prépa, 1re année › Nombres complexes › Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur
Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur : méthode (MPSI)
Méthode
Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur
Pour montrer que $Z$ est réel (resp. imaginaire pur), deux voies :
- calculer la forme algébrique de $Z$ et vérifier que $\mathrm{Im}(Z)=0$ (resp. $\mathrm{Re}(Z)=0$) ;
- calculer $\overline{Z}$ avec les règles de conjugaison et montrer que $\overline{Z}=Z$ (resp. $\overline{Z}=-Z$).
La seconde voie est souvent plus rapide, notamment quand $|z|=1$, car alors $\overline{z}=\dfrac{1}{z}$.
Exemple
Un quotient imaginaire pur
Soit $z$ tel que $|z|=1$ et $z\neq 1$. On pose $Z=\dfrac{1+z}{1-z}$. Comme $z\overline{z}=1$, on a $\overline{z}=\dfrac1z$, donc $$\overline{Z}=\frac{1+\overline{z}}{1-\overline{z}}=\frac{1+\frac{1}{z}}{1-\frac{1}{z}}=\frac{z+1}{z-1}=-Z.$$ Donc $Z\in i\mathbb{R}$.
S’entraîner
- Forme trigonométrique et valeurs de cos(π/12)
- Racines carrées sous forme algébrique
- Racines quatrièmes d'un complexe
- Équations avec l'exponentielle complexe
- Identité du parallélogramme et inégalité triangulaire
Dans le cours
Nombres complexes : Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur