Calculer avec le module et le conjuguéUtiliser l'inégalité triangulaire et son cas d'égalitéUtiliser la seconde inégalité triangulaire
- Montrer que pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ : $|z+z'|^2+|z-z'|^2=2\left(|z|^2+|z'|^2\right)$. Donner une interprétation géométrique.
- Déterminer l'ensemble des $z\in\mathbb{C}$ tels que $|z+1|=|z|+1$.
- Montrer que pour tout $z$ tel que $|z|\leqslant\frac12$, on a $|1+z+z^2|\geqslant\frac14$. En déduire que $1+z+z^2$ ne s'annule pas sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $\frac12$.
Indice 1
Développer $|z\pm z'|^2=(z\pm z')\left(\overline z\pm\overline{z'}\right)$.
Indice 2
Appliquer le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire avec $z'=1$.
Indice 3
Écrire $1+z+z^2=1+(z+z^2)$ et utiliser $|u+v|\geqslant|u|-|v|$.
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