Inégalité triangulaire : énoncé (MPSI)
Inégalité triangulaire
Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ : $$|z+z'|\leqslant |z|+|z'|.$$ Cas d'égalité : $|z+z'|=|z|+|z'|$ si et seulement si $z'=0$ ou il existe un réel $\lambda\geqslant 0$ tel que $z=\lambda z'$ (les vecteurs associés sont colinéaires et de même sens).
Démonstration : Inégalité triangulaire
Preuve de l'inégalité triangulaire
Les deux membres sont positifs, il suffit de comparer leurs carrés. $$|z+z'|^2=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=|z|^2+z\overline{z'}+\overline{z}z'+|z'|^2=|z|^2+2\,\mathrm{Re}(z\overline{z'})+|z'|^2,$$ car $\overline{z}z'=\overline{z\overline{z'}}$. Or $\mathrm{Re}(z\overline{z'})\leqslant |z\overline{z'}|=|z||z'|$. D'où $|z+z'|^2\leqslant(|z|+|z'|)^2$, puis l'inégalité.
Cas d'égalité : il y a égalité si et seulement si $\mathrm{Re}(w)=|w|$ avec $w=z\overline{z'}$, c'est-à-dire si et seulement si $w\in\mathbb{R}_+$.
- Si $z'=0$, l'égalité est vraie.
- Si $z'\neq 0$ et $z\overline{z'}=\mu\geqslant 0$, alors $z=\dfrac{\mu}{\overline{z'}}=\dfrac{\mu}{|z'|^2}z'$ ; on pose $\lambda=\dfrac{\mu}{|z'|^2}\geqslant 0$.
- Réciproquement, si $z=\lambda z'$ avec $\lambda\geqslant 0$, alors $z\overline{z'}=\lambda|z'|^2\in\mathbb{R}_+$.