Propriétés du module : énoncé (MPSI)

Propriété

Propriétés du module

Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ :

$|z|=0\iff z=0$ ; $\quad|\overline{z}|=|z|$ ; $\quad|-z|=|z|$ ;
$|zz'|=|z|\,|z'|$ ; si $z'\neq 0$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ; $|z^n|=|z|^n$ ;
$|\mathrm{Re}(z)|\leqslant|z|$ et $|\mathrm{Im}(z)|\leqslant |z|$, avec $|\mathrm{Re}(z)|=|z|\iff z\in\mathbb{R}$ ;
si $z\neq 0$ : $\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$.

Démonstration : Propriétés du module

Démonstration

Module d'un produit et majoration de la partie réelle

$|zz'|^2=zz'\,\overline{zz'}=z\overline{z}\,z'\overline{z'}=|z|^2|z'|^2$. Les deux membres $|zz'|$ et $|z||z'|$ étant positifs, ils sont égaux.

Avec $z=a+ib$ : $|z|^2=a^2+b^2\geqslant a^2$, donc $|z|\geqslant |a|$, avec égalité si et seulement si $b=0$.

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