Reconnaître une similitude directe $z\mapsto az+b$Déterminer centre, rapport et angleConstruire une similitude à partir de deux points et de leurs images
On considère $f:z\mapsto(1+i\sqrt3)z+\sqrt3$.
- Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$.
- Déterminer l'image par $f$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$.
- Donner l'écriture complexe de $f\circ f$ et ses éléments caractéristiques.
- Déterminer la similitude directe $g$ qui envoie le point d'affixe $0$ sur le point d'affixe $2$ et le point d'affixe $2$ sur le point d'affixe $2+2i$. Préciser sa nature.
Indice 1
Chercher le point fixe en résolvant $\omega=(1+i\sqrt3)\omega+\sqrt3$, puis écrire $1+i\sqrt3$ sous forme trigonométrique.
Indice 2
$|f(z)-f(0)|=|1+i\sqrt3|\,|z|$ ; penser à prouver les deux inclusions.
Indice 3
Utiliser $f(z)-\omega=a(z-\omega)$ deux fois.
Indice 4
Écrire $g(z)=az+b$ et traduire les deux conditions.
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