Une infinité de rationnels et d'irrationnels : énoncé (MPSI)

Tout intervalle ouvert non vide $]a, b[$ contient une infinité de rationnels et une infinité d'irrationnels.

Preuve pour les rationnels : si $]a, b[$ n'en contenait qu'un nombre fini, on noterait $r$ le plus petit d'entre eux. L'intervalle $]a, r[$ est non vide et contient un rationnel, strictement inférieur à $r$ et élément de $]a, b[$ : contradiction. Même raisonnement pour les irrationnels.