Construire un rationnel entre a et b : méthode (MPSI)
Construire un rationnel entre a et b
Pour $a < b$ donnés :
- choisir un entier $N \ge 1$ tel que $N(b - a) > 1$ (une puissance de $10$ convient et donne un décimal) ;
- poser $p = \lfloor N a \rfloor + 1$ ;
- on a alors $N a < p \le N a + 1 < N b$, donc $a < \dfrac{p}{N} < b$.
Pour obtenir un irrationnel, on ajoute $\sqrt{2}$ comme dans la démonstration, ou on remplace $\dfrac{p}{N}$ par $\dfrac{p}{N} + \dfrac{\sqrt{2}}{M}$ avec $M$ assez grand.
Un rationnel entre racine de 2 et 1,415
On prend $a = \sqrt{2}$ et $b = 1{,}415$. Comme $1{,}4143^2 = 2{,}00024449 > 2$, on a $b - a > 1{,}415 - 1{,}4143 = 0{,}0007$, donc $N = 10^4$ convient : $N(b - a) > 7 > 1$.
On a $1{,}4142^2 = 1{,}99996164 < 2 < 1{,}4143^2$, donc $\lfloor 10^4 \sqrt{2} \rfloor = 14142$ et $p = 14143$. Le décimal $1{,}4143$ vérifie bien $\sqrt{2} < 1{,}4143 < 1{,}415$.
Caractérisation séquentielle
Au chapitre sur les suites, on montre qu'une partie $X$ est dense dans $\mathbb{R}$ si et seulement si tout réel est limite d'une suite d'éléments de $X$. Par exemple, tout réel $x$ est limite de la suite de rationnels $(d_n)$ et de la suite d'irrationnels $\left(d_n + \dfrac{\sqrt{2}}{10^n}\right)$.
S’entraîner
- Trois inégalités classiques
- Construire des rationnels et des irrationnels
- Borne supérieure d'un produit de parties positives
- Sous-groupes additifs de R (type Mines-Ponts)