Encadrement et monotonie : énoncé (MPSI)
Encadrement et monotonie
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$d_n \le x < e_n \qquad \text{et} \qquad e_n - d_n = 10^{-n}.$$ De plus la suite $(d_n)$ est croissante et la suite $(e_n)$ est décroissante.
Démonstration : Encadrement et monotonie
Preuve
On note $p = \lfloor 10^n x \rfloor$. Par définition, $p \le 10^n x < p + 1$. En divisant par $10^n > 0$ : $d_n \le x < e_n$.
Monotonie de $(d_n)$. On note $p' = \lfloor 10^{n+1} x \rfloor$. De $p \le 10^n x$, on tire $10p \le 10^{n+1} x$. L'entier $10p$ est inférieur ou égal à $10^{n+1} x$, donc à sa partie entière : $10p \le p'$. Ainsi $d_n = \dfrac{10p}{10^{n+1}} \le \dfrac{p'}{10^{n+1}} = d_{n+1}$.
Monotonie de $(e_n)$. On a $p' \le 10^{n+1} x < 10(p + 1)$. Les entiers $p'$ et $10(p+1)$ vérifient $p' < 10(p + 1)$, donc $p' + 1 \le 10(p + 1)$. En divisant par $10^{n+1}$ : $e_{n+1} \le e_n$.
Valeurs approchées de racine de 2
On a $1{,}414^2 = 1{,}999396 < 2$ et $1{,}415^2 = 2{,}002225 > 2$, donc $1{,}414 \le \sqrt{2} < 1{,}415$, c'est-à-dire $1414 \le 10^3\sqrt{2} < 1415$. Ainsi $\lfloor 10^3 \sqrt{2} \rfloor = 1414$ : $$d_3 = 1{,}414, \qquad e_3 = 1{,}415.$$ Pour un réel négatif, la formule s'applique telle quelle : pour $x = -\sqrt{2}$, $\lfloor -1414{,}21\ldots \rfloor = -1415$, donc $d_3 = -1{,}415$ et $e_3 = -1{,}414$.
Convergence
Comme $0 \le x - d_n < 10^{-n}$ et $0 < e_n - x \le 10^{-n}$, les suites $(d_n)$ et $(e_n)$ convergent vers $x$ (résultat établi au chapitre sur les suites). Tout réel est donc limite d'une suite de décimaux, donc de rationnels.
S’entraîner
- Encadrer une différence, un quotient, un produit
- Parties entières et valeurs décimales approchées
- Deux propriétés de la partie entière
- Identité de Hermite