Formule des probabilités composées : énoncé (MPSI)
Formule des probabilités composées
Soient $A_1,\dots,A_n$ des événements ($n\geqslant 2$) tels que $P(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})>0$. Alors $$P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\,P_{A_1}(A_2)\,P_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n).$$ Pour $n=2$ : si $P(A)>0$, $P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)$.
Démonstration : Formule des probabilités composées
Preuve
Pour $1\leqslant k\leqslant n-1$, on a $A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}\subset A_1\cap\cdots\cap A_k$. Par croissance, $$P(A_1\cap\cdots\cap A_k)\geqslant P(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})>0,$$ donc toutes les probabilités conditionnelles de la formule sont bien définies. Par définition, $$P(A_1)\prod_{k=2}^{n}P_{A_1\cap\cdots\cap A_{k-1}}(A_k)=P(A_1)\prod_{k=2}^{n}\frac{P(A_1\cap\cdots\cap A_k)}{P(A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})}.$$ Le produit est télescopique : il reste $P(A_1\cap\cdots\cap A_n)$.
Tirages sans remise
Une urne contient $5$ boules blanches et $3$ boules noires. On tire successivement et sans remise trois boules. On note $B_k$ : « la $k$-ième boule est blanche » et $N_k$ son contraire.
On cherche $P(B_1\cap B_2\cap N_3)$. D'après l'énoncé : $P(B_1)=\frac{5}{8}$ ; sachant $B_1$, il reste $4$ blanches sur $7$ boules, donc $P_{B_1}(B_2)=\frac{4}{7}$ ; sachant $B_1\cap B_2$, il reste $3$ noires sur $6$ boules, donc $P_{B_1\cap B_2}(N_3)=\frac{3}{6}$.
La formule des probabilités composées donne $$P(B_1\cap B_2\cap N_3)=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}=\frac{60}{336}=\frac{5}{28}.$$
S’entraîner
- Réunion, intersection et indépendance à partir de trois données
- Probabilité définie par une distribution
- Pièces défectueuses et trois machines
- Rang de la première boule blanche
- Fiabilité d'un montage série-parallèle
Dans le cours
Probabilités sur un univers fini : Formule des probabilités composées