Constante d'Euler : énoncé (MPSI)
Constante d'Euler
La suite $u_n=H_n-\ln n$ converge. Sa limite, notée $\gamma$, est la constante d'Euler ($\gamma\approx0{,}5772$). Autrement dit, $$H_n=\ln n+\gamma+o(1).$$
Démonstration : Constante d'Euler
Preuve
Pour $n\ge1$ : $$u_{n+1}-u_n=\frac1{n+1}-\ln(n+1)+\ln n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{\mathrm dt}{t}\le0,$$ car $\frac1t\ge\frac1{n+1}$ sur $[n,n+1]$. Donc $(u_n)$ est décroissante. De plus, par l'exemple précédent, $u_n\ge\ln(n+1)-\ln n>0$. Suite décroissante minorée : elle converge, vers une limite $\gamma\ge0$.
Équivalent du reste d'une série de Riemann convergente
Soit $\alpha>1$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^\alpha}$. Pour $N>n\ge1$, en sommant les inégalités de la comparaison série-intégrale pour $k$ de $n+1$ à $N$ : $$\int_{n+1}^{N+1}\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}\le\sum_{k=n+1}^{N}\frac1{k^\alpha}\le\int_n^N\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}.$$ Or $\int_p^{q}t^{-\alpha}\,\mathrm dt=\frac{p^{1-\alpha}-q^{1-\alpha}}{\alpha-1}$. En faisant tendre $N$ vers $+\infty$ : $$\frac{(n+1)^{1-\alpha}}{\alpha-1}\le R_n\le\frac{n^{1-\alpha}}{\alpha-1}.$$ Comme $(n+1)^{1-\alpha}\sim n^{1-\alpha}$, on obtient $$R_n\sim\frac{1}{(\alpha-1)\,n^{\alpha-1}}.$$ Par exemple, $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^2}\sim\frac1n$.
Une série hors de portée des équivalents
Étudions $\sum_{n\ge2}\frac{1}{n\ln n}$. On a $n\cdot\frac1{n\ln n}=\frac1{\ln n}\to0$ : le terme est négligeable devant $\frac1n$ mais pas devant $\frac1{n^\alpha}$ pour $\alpha>1$, la comparaison aux séries de Riemann ne conclut pas.
La fonction $f:t\mapsto\frac1{t\ln t}$ est continue, positive et décroissante sur $[2,+\infty[$ (produit au dénominateur de deux fonctions positives croissantes). Une primitive est $t\mapsto\ln(\ln t)$, donc $$\int_2^n\frac{\mathrm dt}{t\ln t}=\ln(\ln n)-\ln(\ln 2)\xrightarrow[n\to+\infty]{}+\infty.$$ La série diverge.
Séries de Bertrand (hors programme)
Le même calcul montre plus généralement que $\sum_{n\ge2}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ converge si et seulement si $\alpha>1$, ou $\alpha=1$ et $\beta>1$. Ce résultat est hors programme : il ne se cite pas, il se redémontre à chaque fois (comparaison série-intégrale pour $\alpha=1$, comparaison à une série de Riemann pour $\alpha\neq1$).
Une conséquence utile
Sous les hypothèses du théorème, la série de terme général $w_n=\int_{n-1}^{n}f(t)\,\mathrm dt-f(n)$ (pour $n\ge a+1$) converge toujours. En effet $w_n\ge0$ et, par $(\ast)$, $w_n\le f(n-1)-f(n)$, d'où $\sum_{k=a+1}^{n}w_k\le f(a)-f(n)\le f(a)$. C'est ce mécanisme qui produit la constante d'Euler.