Séries de Riemann : énoncé (MPSI)
Séries de Riemann
Soit $\alpha\in\mathbb R$. La série $\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.
En particulier, la série harmonique $\sum_{n\ge1}\frac1n$ diverge.
Démonstration : Séries de Riemann
Preuve
Si $\alpha\le0$, alors $\frac1{n^\alpha}=n^{-\alpha}\ge1$ ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.
Si $\alpha>0$, la fonction $f:t\mapsto t^{-\alpha}$ est continue, positive et décroissante sur $[1,+\infty[$. On applique la comparaison série-intégrale avec $a=1$.
- Si $\alpha=1$ : $\int_1^n\frac{\mathrm dt}{t}=\ln n\to+\infty$, la suite n'est pas majorée, la série diverge.
- Si $\alpha\neq1$ : $\int_1^n t^{-\alpha}\,\mathrm dt=\frac{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}$.
- Si $\alpha>1$, $n^{1-\alpha}\to0$ et l'intégrale tend vers $\frac{1}{\alpha-1}$ : elle est majorée, la série converge.
- Si $0<\alpha<1$, $n^{1-\alpha}\to+\infty$ et l'intégrale tend vers $+\infty$ : la série diverge.
Équivalent de la somme partielle harmonique
Notons $H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1k$. Avec $f(t)=\frac1t$ :
- en sommant $\frac1k\ge\int_k^{k+1}\frac{\mathrm dt}t$ pour $k$ de $1$ à $n$ : $H_n\ge\ln(n+1)$ ;
- en sommant $\frac1k\le\int_{k-1}^{k}\frac{\mathrm dt}t$ pour $k$ de $2$ à $n$ : $H_n-1\le\ln n$.
Ainsi $\ln(n+1)\le H_n\le1+\ln n$. En divisant par $\ln n$ (pour $n\ge2$) et comme $\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1+\frac{\ln(1+1/n)}{\ln n}\to1$, le théorème d'encadrement donne $$H_n\sim\ln n.$$
S’entraîner
- Trois sommes géométriques
- Divergence grossière ou non
- Deux sommes par télescopage
- Natures par équivalents
- Convergence absolue