Comparaison série-intégrale : énoncé (MPSI)

1. Pour $t\in[k-1,k]$, la décroissance donne $f(k)\le f(t)\le f(k-1)$. En intégrant sur $[k-1,k]$, de longueur $1$ : $$f(k)\le\int_{k-1}^{k}f(t)\,\mathrm dt\le f(k-1).\qquad(\ast)$$ L'inégalité de gauche est la majoration annoncée ; l'inégalité de droite écrite au rang $k+1$ donne $\int_k^{k+1}f\le f(k)$.

2. Posons $F(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt$. Comme $f\ge0$, $F$ est croissante. En sommant $(\ast)$ pour $k$ de $a+1$ à $n$ et en utilisant la relation de Chasles : $$\sum_{k=a+1}^{n}f(k)\le F(n)\le\sum_{k=a}^{n-1}f(k).$$ Si $\sum f(n)$ converge, l'inégalité de droite montre que $(F(n))$ est majorée par $\sum_{k=a}^{+\infty}f(k)$. Si $(F(n))$ est majorée, l'inégalité de gauche montre que les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum f(n)$ sont majorées, donc elle converge.

Enfin, $F$ étant croissante, pour $x\ge a$ on a $F(x)\le F(\lceil x\rceil)$ ; donc $F$ est majorée sur $[a,+\infty[$ si et seulement si $(F(n))$ l'est, et par le théorème de la limite monotone cela équivaut à l'existence d'une limite finie de $F$ en $+\infty$.