Utiliser la comparaison série-intégrale : méthode (MPSI)

Pour étudier $\sum f(n)$ ou estimer ses sommes partielles ou ses restes :

1. Vérifier que $f$ est continue par morceaux, positive et monotone sur un intervalle $[a,+\infty[$ (souvent par étude de signe de la dérivée).
2. Faire un dessin : rectangles de largeur $1$ sous et au-dessus de la courbe, pour écrire sans erreur $\int_k^{k+1}f\le f(k)\le\int_{k-1}^kf$ (cas décroissant).
3. Sommer ces inégalités sur la bonne plage d'indices et appliquer Chasles.
4. Calculer les intégrales avec une primitive, puis conclure : nature (majoration), encadrement, ou équivalent (encadrement par deux quantités équivalentes).

Si $f$ est croissante, les inégalités s'inversent : $\int_{k-1}^kf\le f(k)\le\int_k^{k+1}f$.