Pour $n\ge2$, on pose $u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
- Justifier que $u_n$ est bien défini et que $u_n\sim\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$.
- On pose $T_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{\sqrt k}$. Montrer que $(T_{2n})$ et $(T_{2n+1})$ sont adjacentes et en déduire que $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
- On note $x_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$. Vérifier que pour $x\neq-1$, $\frac{x}{1+x}=x-x^2+\frac{x^3}{1+x}$, puis écrire $u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+r_n$ avec $|r_n|\le\frac{C}{n^{3/2}}$, $C$ constante à préciser.
- Déterminer la nature de $\sum u_n$. Quelle leçon en tirer ?
Pour 1, minorer $\sqrt n+(-1)^n$ pour $n\ge2$.
Pour 2, calculer $T_{2n+2}-T_{2n}$, $T_{2n+3}-T_{2n+1}$ et $T_{2n+1}-T_{2n}$.
Pour 3, remarquer que $u_n=\frac{x_n}{1+x_n}$ et que $|x_n|\le\frac1{\sqrt2}$.
Pour 4, une série convergente plus une série divergente donne une série divergente.
-
Pour $n\ge2$, $\sqrt n+(-1)^n\ge\sqrt2-1>0$ : $u_n$ est bien défini. De plus $u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\cdot\frac{1}{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}}$ et $\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\to0$, donc le second facteur tend vers $1$ : $u_n\sim\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$.
-
Pour $n\ge1$ :
- $T_{2n+2}-T_{2n}=-\frac1{\sqrt{2n+1}}+\frac1{\sqrt{2n+2}}<0$ : $(T_{2n})$ décroît ;
- $T_{2n+3}-T_{2n+1}=\frac1{\sqrt{2n+2}}-\frac1{\sqrt{2n+3}}>0$ : $(T_{2n+1})$ croît ;
- $T_{2n+1}-T_{2n}=-\frac1{\sqrt{2n+1}}\to0$. Les suites sont adjacentes, donc convergent vers une même limite $\ell$. Les suites extraites des termes pairs et impairs convergeant vers $\ell$, $(T_n)$ converge : $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
-
Pour $x\neq-1$ : $(x-x^2)(1+x)+x^3=x+x^2-x^2-x^3+x^3=x$, d'où l'identité en divisant par $1+x$. Comme $u_n=\frac{x_n}{1+x_n}$, $x_n^2=\frac1n$ et $x_n^3=\frac{(-1)^n}{n^{3/2}}$ : $$u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+r_n,\qquad r_n=\frac{x_n^3}{1+x_n}.$$ Pour $n\ge2$, $|x_n|\le\frac1{\sqrt2}$, donc $1+x_n\ge1-\frac1{\sqrt2}>0$ et $$|r_n|\le\frac{C}{n^{3/2}},\qquad C=\frac{1}{1-\frac1{\sqrt2}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt2-1}.$$
-
La série $\sum x_n$ converge (question 2). La série $\sum r_n$ est absolument convergente par comparaison à $\sum\frac1{n^{3/2}}$, donc convergente. Ainsi $\sum(x_n+r_n)$ converge. Comme $\sum\frac1n$ diverge, $\sum u_n=\sum\left((x_n+r_n)-\frac1n\right)$ diverge (somme d'une série convergente et d'une série divergente).
Leçon : $u_n\sim\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ et $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge, mais $\sum u_n$ diverge. Le critère des équivalents est faux pour des termes de signe non constant ; il faut pousser le développement jusqu'à un reste absolument sommable.
La série $\sum u_n$ diverge