Formule d'absorptionFormule du binômeChangement d'indice
- Pour $n\geqslant2$ et $2\leqslant k\leqslant n$, montrer que $k(k-1)\binom nk=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$.
- En déduire, pour $n\geqslant1$, la valeur de $A_n=\sum_{k=0}^{n}k^2\binom nk$.
- Pour $n\in\mathbb{N}$, calculer $B_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom nk$.
Indice 1
Appliquer deux fois la formule d'absorption, en vérifiant ses hypothèses à chaque fois.
Indice 2
Écrire $k^2=k(k-1)+k$ et utiliser $\sum_{k=0}^{n}k\binom nk=n2^{n-1}$. Traiter $n=1$ à part.
Indice 3
Pour $B_n$, appliquer l'absorption à $\binom{n+1}{k+1}$.
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