Exercice corrigé : Binôme et nombres complexes

Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose $$S_n=\sum_{0\leqslant2p\leqslant n}(-1)^p\binom{n}{2p},\qquad T_n=\sum_{0\leqslant2p+1\leqslant n}(-1)^p\binom{n}{2p+1}.$$

1. Développer $(1+i)^n$ par la formule du binôme et montrer que $(1+i)^n=S_n+iT_n$.
2. Écrire $1+i$ sous forme exponentielle et en déduire $S_n$ et $T_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer $S_8$ et $T_8$ de deux façons.