Interversion sur un rectangle : énoncé (MPSI)
Interversion sur un rectangle
$$\sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}} a_{i,j} = \sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{p} a_{i,j}\right) = \sum_{j=1}^{p}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i,j}\right).$$ On somme ligne par ligne ou colonne par colonne : le total est le même (associativité et commutativité de l'addition).
Cas particulier important, le produit de deux sommes : $$\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)\left(\sum_{j=1}^{p} b_j\right) = \sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}} a_i b_j.$$ Les deux indices doivent porter des noms différents.
Une somme double rectangulaire
Calculons $\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n} (i+j)$. Par linéarité, $$\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n} (i+j) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} j.$$ Dans la première, $i$ ne dépend pas de $j$ : $\sum_{j=1}^{n} i = n\,i$, d'où $\sum_{i=1}^{n} n\,i = n\,\frac{n(n+1)}{2}$. La seconde vaut de même $n\,\frac{n(n+1)}{2}$ par symétrie des rôles. Total : $n^2(n+1)$.
Vérification pour $n=1$ : un seul terme, $1+1 = 2 = 1^2\times 2$.