Carré d'une somme : énoncé (MPSI)
Carré d'une somme
Pour des complexes $a_1,\dots,a_n$ : $$\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)^2 = \sum_{1\leqslant i,j\leqslant n} a_i a_j = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + 2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} a_i a_j.$$ En effet, le carré de $[\![1,n]\!]^2$ se découpe en la diagonale ($i=j$), la partie $i<j$ et la partie $i>j$ ; ces deux dernières donnent la même somme par symétrie $a_ia_j = a_ja_i$.
Application du carré d'une somme
Avec $a_i = i$ : $$\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} ij = \frac12\left[\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] = \frac{n(n+1)\big(3n(n+1) - 2(2n+1)\big)}{24}.$$ Or $3n^2 + 3n - 4n - 2 = 3n^2 - n - 2 = (n-1)(3n+2)$, donc $$\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} ij = \frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}.$$ Vérification pour $n=2$ : un seul terme $1\times2 = 2$, et $\frac{1\times2\times3\times8}{24} = 2$.
S’entraîner
- Sommes usuelles par linéarité
- Télescopages directs
- Une somme arithmético-géométrique, deux méthodes
- Télescopage de fractions rationnelles
- Sommes doubles sur un carré