Soit $n\in\mathbb{N}^*$.
- Calculer $V_n=\sum_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}\frac{i}{j}$.
- On pose $U_n=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=j}^{n}\frac1i$. Expliquer pourquoi la somme intérieure ne se calcule pas directement, puis calculer $U_n$ en intervertissant les sommes.
Pour $V_n$, à $j$ fixé, $i$ varie de $1$ à $j$ et le facteur $\frac1j$ est constant.
Pour $U_n$, écrire l'ensemble des couples $(i,j)$ concernés sous la forme d'une double inégalité.
À $i$ fixé, compter le nombre de valeurs possibles de $j$.
1. On somme d'abord en $i$, à $j$ fixé ; $i$ varie de $1$ à $j$ : $$V_n=\sum_{j=1}^{n}\frac1j\sum_{i=1}^{j}i=\sum_{j=1}^{n}\frac1j\cdot\frac{j(j+1)}{2}=\frac12\sum_{j=1}^{n}(j+1)=\frac12\left(\frac{n(n+1)}{2}+n\right)=\frac{n(n+3)}{4}.$$ Vérification pour $n=2$ : les couples sont $(1,1)$, $(1,2)$, $(2,2)$, d'où $1+\frac12+1=\frac52$, et $\frac{2\times5}{4}=\frac52$.
2. À $j$ fixé, la somme intérieure $\sum_{i=j}^{n}\frac1i$ est une somme de termes de la série harmonique, qui n'a pas d'expression simple. On change d'ordre.
Les couples concernés sont ceux qui vérifient $1\leqslant j\leqslant i\leqslant n$. À $i$ fixé dans $[\![1,n]\!]$, $j$ varie de $1$ à $i$, soit $i$ valeurs. Donc $$U_n=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\frac1i=\sum_{i=1}^{n}i\times\frac1i=\sum_{i=1}^{n}1=n.$$ Vérification pour $n=2$ : $j=1$ donne $1+\frac12$, $j=2$ donne $\frac12$, total $2$.
$V_n=\frac{n(n+3)}{4}$, $U_n=n$