Prépa, 1re année › Sommes et produits › Intervertir une somme double triangulaire
Intervertir une somme double triangulaire : méthode (MPSI)
Méthode
Intervertir une somme double triangulaire
- Écrire la condition sur les indices sous forme d'un ensemble, par exemple $\{(i,j) : 1\leqslant i\leqslant j\leqslant n\}$.
- Dessiner la grille des couples $(i,j)$ et repérer la zone concernée (triangle).
- Pour sommer d'abord en $i$ : fixer $j$ et lire les valeurs possibles de $i$ ($1\leqslant i\leqslant j$), puis faire varier $j$ dans toutes ses valeurs possibles ($1\leqslant j\leqslant n$).
- Choisir l'ordre qui rend la somme intérieure calculable.
Exemple
Une somme triangulaire
Calculons $T_n = \sum_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n} i$. On somme d'abord en $i$, à $j$ fixé : $$T_n = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j} i = \sum_{j=1}^{n}\frac{j(j+1)}{2} = \frac12\left(\sum_{j=1}^{n} j^2 + \sum_{j=1}^{n} j\right).$$ Donc $$T_n = \frac12\, n(n+1)\left(\frac{2n+1}{6}+\frac{3}{6}\right) = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$ Vérification pour $n=2$ : les couples sont $(1,1),(1,2),(2,2)$, d'où $T_2 = 1+1+2 = 4 = \frac{2\times3\times4}{6}$.
L'autre ordre donne $T_n = \sum_{i=1}^{n} i\,(n-i+1)$, car à $i$ fixé il y a $n-i+1$ valeurs de $j$.
S’entraîner
- Sommes usuelles par linéarité
- Télescopages directs
- Une somme arithmético-géométrique, deux méthodes
- Télescopage de fractions rationnelles
- Sommes doubles sur un carré
Dans le cours
Sommes et produits : Intervertir une somme double triangulaire