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Règles de calcul sur les produits : énoncé (MPSI)
Propriété
Règles de calcul sur les produits
Pour des complexes $a_k$, $b_k$, $\lambda$ et des entiers $p\leqslant q$ :
- $\prod_{k=p}^{q} (a_k b_k) = \left(\prod_{k=p}^{q} a_k\right)\left(\prod_{k=p}^{q} b_k\right)$.
- $\prod_{k=p}^{q} (\lambda a_k) = \lambda^{q-p+1} \prod_{k=p}^{q} a_k$ : le facteur $\lambda$ apparaît une fois par terme.
- Si les $a_k$ sont des réels strictement positifs, $\ln\left(\prod_{k=p}^{q} a_k\right) = \sum_{k=p}^{q} \ln(a_k)$.
Attention
Ce qui est faux
- En général $\sum_{k} a_k b_k \neq \left(\sum_k a_k\right)\left(\sum_k b_k\right)$. Contre-exemple : $a_1=a_2=b_1=b_2=1$ donne $2$ à gauche et $4$ à droite.
- En général $\prod_k (a_k+b_k) \neq \prod_k a_k + \prod_k b_k$.
- $\sum_{k=0}^{n} 1 = n+1$ et non $n$ : il y a $n+1$ entiers entre $0$ et $n$.
Exemple
Produit des entiers pairs, des entiers impairs
Soit $n\geqslant 1$.
Pairs. $\prod_{k=1}^{n} (2k) = 2^n \prod_{k=1}^{n} k = 2^n\, n!$.
Impairs. Le produit $P=\prod_{k=1}^{n}(2k-1) = 1\times 3\times\cdots\times(2n-1)$ est le produit de tous les entiers de $1$ à $2n$ divisé par le produit des entiers pairs : $$P = \frac{(2n)!}{\prod_{k=1}^{n}(2k)} = \frac{(2n)!}{2^n\, n!}.$$ Vérification pour $n=2$ : $1\times 3 = 3$ et $\frac{4!}{2^2\times 2!} = \frac{24}{8} = 3$.