Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Calculer :
- $P_1=\prod_{k=1}^{n}(3k)$ ;
- $P_2=\prod_{k=1}^{n}2^k$ ;
- $P_3=\prod_{k=1}^{n}\frac{k+2}{k}$ (résultat sans factorielle).
Dans un produit, un facteur constant apparaît une fois par terme.
Un produit de puissances d'un même nombre est une puissance dont l'exposant est une somme.
Pour $P_3$, traiter séparément le produit des numérateurs (translation d'indice) et celui des dénominateurs.
1. Le facteur $3$ apparaît dans chacun des $n$ termes : $$P_1=3^n\prod_{k=1}^{n}k=3^n\,n!.$$
2. On a $2^1\times2^2\times\cdots\times2^n=2^{1+2+\cdots+n}$, donc $$P_2=2^{\sum_{k=1}^{n}k}=2^{n(n+1)/2}.$$ Vérification pour $n=3$ : $2\times4\times8=64=2^6$ et $\frac{3\times4}{2}=6$.
3. Par la règle sur les produits, $P_3=\dfrac{\prod_{k=1}^{n}(k+2)}{\prod_{k=1}^{n}k}$. Au numérateur, on pose $j=k+2$ ($j$ va de $3$ à $n+2$) : $$\prod_{k=1}^{n}(k+2)=\prod_{j=3}^{n+2}j=\frac{(n+2)!}{1\times2}=\frac{(n+2)!}{2}.$$ Le dénominateur vaut $n!$. Comme $(n+2)!=(n+2)(n+1)\,n!$ : $$P_3=\frac{(n+2)!}{2\,n!}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$$ Vérification pour $n=2$ : $\frac31\times\frac42=6$ et $\frac{3\times4}{2}=6$.
$P_1=3^n\,n!$, $P_2=2^{n(n+1)/2}$, $P_3=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$