Sommes des puissances d'entiers : énoncé (MPSI)

Notons $S_1 = \sum_{k=1}^{n} k$. Le changement d'indice $j = n+1-k$ donne $S_1 = \sum_{j=1}^{n} (n+1-j)$. En additionnant les deux écritures : $$2S_1 = \sum_{k=1}^{n} \big(k + (n+1-k)\big) = \sum_{k=1}^{n} (n+1) = n(n+1).$$ Donc $S_1 = \frac{n(n+1)}{2}$.

Notons $S_2 = \sum_{k=1}^{n} k^2$. Pour tout $k$, $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$. On somme pour $k$ de $0$ à $n$. À gauche, la somme télescope en $(n+1)^3 - 0^3$. À droite, par linéarité : $$(n+1)^3 = 3S_2 + 3\,\frac{n(n+1)}{2} + (n+1).$$ On isole $3S_2$ et on factorise par $n+1$ : $$3S_2 = (n+1)\left[(n+1)^2 - \frac{3n}{2} - 1\right] = (n+1)\left(n^2 + \frac{n}{2}\right) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}.$$ Donc $S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Pour $n\geqslant1$, notons $\mathcal{P}(n)$ : « $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ ».

Initialisation. Pour $n=1$ : $1^3 = 1$ et $\frac{1\times 4}{4} = 1$.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un $n\geqslant 1$. Alors $$\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2\,(n^2 + 4n + 4)}{4} = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4},$$ ce qui est $\mathcal{P}(n+1)$.

Conclusion. $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant1$.