Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^{n}k\,2^k$.
- Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que la suite définie par $a_k=(\alpha k+\beta)2^k$ vérifie $a_{k+1}-a_k=k\,2^k$ pour tout $k\in\mathbb{N}$. En déduire $S_n$.
- Retrouver ce résultat en écrivant $k=\sum_{j=1}^{k}1$ et en intervertissant les sommes.
Calculer $a_{k+1}-a_k$ et factoriser par $2^k$ ; identifier ensuite les coefficients.
Pour la question 2, $S_n$ devient une somme sur l'ensemble $\{(j,k):1\leqslant j\leqslant k\leqslant n\}$.
À $j$ fixé, la somme intérieure en $k$ est géométrique : repérer son premier terme et son nombre de termes.
1. Pour tout $k\in\mathbb{N}$ : $$a_{k+1}-a_k=\big(\alpha(k+1)+\beta\big)2^{k+1}-(\alpha k+\beta)2^k=2^k\big(2\alpha k+2\alpha+2\beta-\alpha k-\beta\big)=2^k(\alpha k+2\alpha+\beta).$$ Il suffit de choisir $\alpha=1$ et $2\alpha+\beta=0$, soit $\beta=-2$. Avec $a_k=(k-2)2^k$, on a $a_{k+1}-a_k=k\,2^k$ pour tout $k$, donc par télescopage $$S_n=\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1=(n-1)2^{n+1}-(-1)\times2=(n-1)2^{n+1}+2.$$ Vérification pour $n=2$ : $2+8=10$ et $1\times8+2=10$.
2. On écrit $k=\sum_{j=1}^{k}1$ : $$S_n=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}2^k=\sum_{1\leqslant j\leqslant k\leqslant n}2^k=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}2^k.$$ À $j$ fixé, la somme intérieure est géométrique de raison $2$, de premier terme $2^j$, avec $n-j+1$ termes : $$\sum_{k=j}^{n}2^k=2^j\,\frac{1-2^{n-j+1}}{1-2}=2^{n+1}-2^j.$$ Donc $$S_n=\sum_{j=1}^{n}\left(2^{n+1}-2^j\right)=n\,2^{n+1}-\left(2^{n+1}-2\right)=(n-1)2^{n+1}+2,$$ car $\sum_{j=1}^{n}2^j=2(2^n-1)=2^{n+1}-2$. On retrouve le résultat de la question 1.
$S_n=(n-1)2^{n+1}+2$