Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Calculer sous forme factorisée :
- $A_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ ;
- $B_n=\sum_{k=0}^{n}3\times 2^k$ ;
- $C_n=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$.
Décomposer chaque terme général en combinaison de $1$, $k$, $k^2$ ou $q^k$, puis utiliser la linéarité.
Pour la somme d'une constante, compter le nombre de termes.
Pour la somme géométrique, repérer la raison, le premier terme et le nombre de termes. Vérifier chaque résultat pour $n=1$ ou $n=2$.
1. Par linéarité, et comme $\sum_{k=1}^{n}1=n$ : $$A_n=2\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}1=2\,\frac{n(n+1)}{2}-n=n^2+n-n=n^2.$$ Vérification pour $n=3$ : $1+3+5=9=3^2$.
2. On sort la constante $3$. La somme restante est géométrique de raison $2\neq1$, de premier terme $1$, avec $n+1$ termes : $$B_n=3\sum_{k=0}^{n}2^k=3\,\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=3\,(2^{n+1}-1).$$ Vérification pour $n=1$ : $3+6=9=3\times3$.
3. On développe $k(k+1)=k^2+k$, puis par linéarité : $$C_n=\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)\big[(2n+1)+3\big]}{6}=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}.$$ Donc $C_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.
Vérification pour $n=2$ : $1\times2+2\times3=8$ et $\frac{2\times3\times4}{3}=8$.
$A_n=n^2$, $B_n=3(2^{n+1}-1)$, $C_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$