Soit $n\in\mathbb{N}^*$. À l'aide d'un changement d'indice, calculer :
- $A_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)^3$ ;
- $B_n=\sum_{k=0}^{n}(n-k)^2$ ;
- $C_n=\sum_{k=n}^{2n}k$.
Écrire explicitement la nouvelle variable : $j=k-1$, $j=n-k$, $j=k-n$.
Calculer les nouvelles bornes en remplaçant $k$ par chacune des anciennes bornes.
Contrôler que le nombre de termes est le même avant et après le changement d'indice.
1. On pose $j=k-1$. Pour $k=2$, $j=1$ ; pour $k=n+1$, $j=n$. Les deux sommes ont $n$ termes et $$A_n=\sum_{j=1}^{n}j^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$
2. On pose $j=n-k$. Pour $k=0$, $j=n$ ; pour $k=n$, $j=0$. L'ordre des termes est renversé, mais $j$ parcourt exactement $[\![0,n]\!]$ : $$B_n=\sum_{j=0}^{n}j^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$ car le terme $j=0$ est nul.
3. La somme comporte $2n-n+1=n+1$ termes. On pose $j=k-n$, donc $k=j+n$ et $j$ va de $0$ à $n$ : $$C_n=\sum_{j=0}^{n}(j+n)=\sum_{j=0}^{n}j+n\sum_{j=0}^{n}1=\frac{n(n+1)}{2}+n(n+1)=\frac{3n(n+1)}{2}.$$ Vérification pour $n=2$ : $2+3+4=9$ et $\frac{3\times2\times3}{2}=9$.
$A_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$, $B_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $C_n=\frac{3n(n+1)}{2}$