Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Composée et réciproque
Composée et réciproque : énoncé (MPSI)
Propriété
Composée et réciproque
- La composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes.
- La réciproque d'un isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupes.
Démonstration : Composée et réciproque
Démonstration
Composée et réciproque
- Si $f:G\to G'$ et $g:G'\to G''$ sont des morphismes, $g\circ f(xy)=g(f(x)f(y))=g(f(x))\,g(f(y))$.
- Soit $f:G\to G'$ un isomorphisme. $f^{-1}$ est bijective. Soient $x',y'\in G'$ et $x=f^{-1}(x')$, $y=f^{-1}(y')$. Alors $f(xy)=f(x)f(y)=x'y'$, donc $f^{-1}(x'y')=xy=f^{-1}(x')f^{-1}(y')$.