Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Utiliser noyau et image
Utiliser noyau et image : méthode (MPSI)
Méthode
Utiliser noyau et image
- Pour montrer qu'un morphisme est injectif : résoudre $f(x)=e'$ et montrer que la seule solution est $e$. Attention au neutre d'arrivée : $0$ en notation additive, $1$ en notation multiplicative.
- Pour montrer qu'une partie est un sous-groupe : l'écrire comme noyau ou image d'un morphisme. Ainsi $\mathbb U=\mathrm{Ker}(z\mapsto|z|)$ et $\mathbb U_n=\mathrm{Ker}(z\mapsto z^n)$ sont des sous-groupes de $\mathbb C^*$ sans autre calcul.
- Pour montrer que deux groupes sont isomorphes : exhiber un morphisme, puis vérifier noyau trivial et image égale au groupe d'arrivée.
S’entraîner
- Sous-groupes de $(\mathbb C^*,\times)$ ou non
- Deux noyaux, deux images
- Intersection et somme de deux sous-groupes de $\mathbb Z$
- Endomorphismes de $(\mathbb Z,+)$
- Trois conditions qui forcent la commutativité