Critère d'injectivité : énoncé (MPSI)
Critère d'injectivité
Un morphisme de groupes $f:G\to G'$ est injectif si et seulement si $\mathrm{Ker}\,f=\{e\}$.
Par définition, $f$ est surjectif si et seulement si $\mathrm{Im}\,f=G'$.
Démonstration : Critère d'injectivité
Critère d'injectivité
Sens direct. On a toujours $e\in\mathrm{Ker}\,f$. Si $x\in\mathrm{Ker}\,f$, alors $f(x)=e'=f(e)$, donc $x=e$ par injectivité.
Réciproque. Supposons $\mathrm{Ker}\,f=\{e\}$. Soient $x,y\in G$ avec $f(x)=f(y)$. Alors $f(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}=e'$, donc $xy^{-1}\in\mathrm{Ker}\,f$, d'où $xy^{-1}=e$, puis $x=y$.
Structure des solutions de $f(x)=b$
Le calcul précédent montre que $f(x)=f(x_0)\iff x_0^{-1}x\in\mathrm{Ker}\,f$. Si $x_0$ est une solution de $f(x)=b$, l'ensemble des solutions est donc $$x_0\,\mathrm{Ker}\,f=\{x_0k,\ k\in\mathrm{Ker}\,f\}.$$ C'est la même structure que pour les équations différentielles linéaires : solution particulière « fois » solutions de l'équation homogène. Exemple : $e^{i\theta}=e^{i\theta_0}\iff\theta\in\theta_0+2\pi\mathbb Z$.
Noyaux et images
- $\varphi:\theta\mapsto e^{i\theta}$ de $(\mathbb R,+)$ dans $(\mathbb U,\times)$ : $\mathrm{Ker}\,\varphi=2\pi\mathbb Z$ et $\mathrm{Im}\,\varphi=\mathbb U$. Le morphisme est surjectif, non injectif.
- $f:z\mapsto z^n$ sur $(\mathbb C^*,\times)$, $n\geq1$ : $\mathrm{Ker}\,f=\mathbb U_n$, et $\mathrm{Im}\,f=\mathbb C^*$ car tout complexe non nul admet une racine $n$-ième. Pour $n\geq2$, $f$ est surjectif mais non injectif.
- $g:z\mapsto|z|$ de $(\mathbb C^*,\times)$ dans $(\mathbb R_+^*,\times)$ : $\mathrm{Ker}\,g=\mathbb U$ (le neutre d'arrivée est $1$, pas $0$) et $\mathrm{Im}\,g=\mathbb R_+^*$ car $g(r)=r$ pour $r>0$.
- $\varphi:x\mapsto1-x$ de $(\mathbb R\setminus\{1\},\star)$ dans $(\mathbb R^*,\times)$ : c'est un morphisme car $1-x\star y=(1-x)(1-y)$. Son noyau est $\{x,\ 1-x=1\}=\{0\}$ : il est injectif. Il est surjectif car $t=\varphi(1-t)$ avec $1-t\neq1$ pour $t\neq0$. C'est un isomorphisme.