Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Morphisme de groupes
Morphisme de groupes : définition (MPSI)
Définition
Morphisme de groupes
Soient $(G,\cdot)$ et $(G',*)$ deux groupes. Une application $f:G\to G'$ est un morphisme de groupes si $$\forall x,y\in G,\quad f(x\cdot y)=f(x)*f(y).$$ Un morphisme bijectif est un isomorphisme. Un morphisme de $G$ dans $G$ est un endomorphisme ; un endomorphisme bijectif est un automorphisme. Deux groupes sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un sur l'autre.
Exemple
Morphismes de référence
- $\exp:(\mathbb R,+)\to(\mathbb R_+^*,\times)$, car $e^{x+y}=e^xe^y$. C'est un isomorphisme, de réciproque $\ln$.
- $\theta\mapsto e^{i\theta}$, de $(\mathbb R,+)$ dans $(\mathbb U,\times)$.
- $z\mapsto|z|$, de $(\mathbb C^*,\times)$ dans $(\mathbb R_+^*,\times)$.
- $z\mapsto z^n$, de $(\mathbb C^*,\times)$ dans lui-même, pour $n\in\mathbb Z$.
- $k\mapsto nk$, de $(\mathbb Z,+)$ dans lui-même.
- $z\mapsto\bar z$ est un automorphisme de $(\mathbb C,+)$ et de $(\mathbb C^*,\times)$.
Contre-exemple : $x\mapsto x+1$ n'est pas un morphisme de $(\mathbb R,+)$, car $(x+y)+1\neq(x+1)+(y+1)$.
S’entraîner
- Sous-groupes de $(\mathbb C^*,\times)$ ou non
- Deux noyaux, deux images
- Intersection et somme de deux sous-groupes de $\mathbb Z$
- Réunion de deux sous-groupes
- Endomorphismes de $(\mathbb Z,+)$