Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Images directe et réciproque d'un sous-groupe
Images directe et réciproque d'un sous-groupe : énoncé (MPSI)
Propriété
Images directe et réciproque d'un sous-groupe
Soit $f:G\to G'$ un morphisme de groupes.
- Si $H$ est un sous-groupe de $G$, alors $f(H)$ est un sous-groupe de $G'$.
- Si $H'$ est un sous-groupe de $G'$, alors $f^{-1}(H')=\{x\in G,\ f(x)\in H'\}$ est un sous-groupe de $G$.
Démonstration : Images directe et réciproque d'un sous-groupe
Démonstration
Images directe et réciproque d'un sous-groupe
- $e\in H$ donc $e'=f(e)\in f(H)$. Soient $x',y'\in f(H)$ : il existe $x,y\in H$ avec $x'=f(x)$, $y'=f(y)$. Alors $x'y'^{-1}=f(x)f(y)^{-1}=f(x)f(y^{-1})=f(xy^{-1})$, et $xy^{-1}\in H$. Donc $x'y'^{-1}\in f(H)$.
- $f(e)=e'\in H'$ donc $e\in f^{-1}(H')$. Soient $x,y\in f^{-1}(H')$ : $f(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}\in H'$ car $f(x),f(y)\in H'$ et $H'$ est un sous-groupe. Donc $xy^{-1}\in f^{-1}(H')$.
S’entraîner
- Sous-groupes de $(\mathbb C^*,\times)$ ou non
- Deux noyaux, deux images
- Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$
- Inversibles et diviseurs de zéro dans $\mathbb Z\times\mathbb R$
- La loi $\frac{x+y}{1+xy}$ sur $]-1,1[$
Dans le cours
Structures algébriques usuelles : Images directe et réciproque d'un sous-groupe