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Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › Minoration, majoration et limites infinies

Minoration, majoration et limites infinies : énoncé (MPSI)

Théorème

Minoration, majoration et limites infinies

  • Si $u_n\ge v_n$ à partir d'un certain rang et $v_n\to+\infty$, alors $u_n\to+\infty$.
  • Si $u_n\le w_n$ à partir d'un certain rang et $w_n\to-\infty$, alors $u_n\to-\infty$.
Démonstration : Minoration, majoration et limites infinies
Démonstration

Preuve

Soit $n_0$ tel que $u_n\ge v_n$ pour $n\ge n_0$, et $A\in\mathbb R$. Il existe $N$ tel que $v_n\ge A$ pour $n\ge N$. Pour $n\ge\max(n_0,N)$, $u_n\ge v_n\ge A$. Donc $u_n\to+\infty$. Le second point s'obtient en appliquant le premier à $(-u_n)$ et $(-w_n)$.

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Dans le cours

Suites réelles : convergence : Minoration, majoration et limites infinies