Exercice corrigé : Trois suites extraites qui se recouvrent

Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ convergent, de limites respectives $a$, $b$ et $c$.

1. Montrer que $(u_{6n})$ est extraite à la fois de $(u_{2n})$ et de $(u_{3n})$. En déduire que $a=c$.
2. Montrer de même que $b=c$.
3. Conclure que $(u_n)$ converge.
4. Montrer par un exemple que la convergence de $(u_{2n})$ et de $(u_{3n})$ ne suffit pas à assurer celle de $(u_n)$.