Prouver une convergence par encadrement : méthode (MPSI)
Prouver une convergence par encadrement
On l'utilise quand la limite se devine mais qu'aucun calcul direct n'est possible : somme de $n$ termes, produit, partie entière, terme oscillant.
- On minore et on majore $u_n$ par des suites simples $a_n\le u_n\le b_n$, ou on majore $|u_n-\ell|$ par $\alpha_n$.
- On vérifie que $a_n$ et $b_n$ ont la même limite $\ell$, ou que $\alpha_n\to0$.
- On conclut par le théorème d'encadrement.
Pour une somme de $n$ termes, on encadre chaque terme par le plus petit et le plus grand, puis on multiplie par le nombre de termes. Pour une limite infinie, une seule minoration (ou majoration) suffit.
Une somme de n termes
Soit $u_n=\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}$ pour $n\ge1$. Pour $1\le k\le n$, on a $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$, donc $$\frac{n}{n^2+n}\le\frac{n}{n^2+k}\le\frac{n}{n^2+1}.$$ En sommant ces $n$ inégalités : $$\frac{n^2}{n^2+n}\le u_n\le\frac{n^2}{n^2+1}.$$ Or $\frac{n^2}{n^2+n}=\frac{n}{n+1}\to1$ et $\frac{n^2}{n^2+1}=\frac1{1+\frac1{n^2}}\to1$. Par encadrement, $u_n\to1$.
Retour sur n!/n^n, et une limite infinie
Pour $n\ge1$, on écrit $$\frac{n!}{n^n}=\frac1n\cdot\frac2n\cdots\frac nn=\frac1n\prod_{k=2}^{n}\frac kn.$$ Chaque facteur $\frac kn$ est dans $]0,1]$, donc $0<\frac{n!}{n^n}\le\frac1n$. Par encadrement, $\frac{n!}{n^n}\to0$.
Autre exemple : $u_n=n+3\cos n$ vérifie $u_n\ge n-3$, et $n-3\to+\infty$, donc $u_n\to+\infty$.
S’entraîner
- Trois encadrements
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Suites adjacentes et somme alternée
- Suite récurrente, fonction croissante, discussion selon u0
- Trois suites extraites qui se recouvrent
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Prouver une convergence par encadrement