Passage à la limite dans une inégalité large : énoncé (MPSI)
Passage à la limite dans une inégalité large
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes, de limites $\ell$ et $\ell'$. Si $u_n\le v_n$ à partir d'un certain rang, alors $\ell\le\ell'$.
Cas particulier : si $u_n\to\ell$ et $u_n\le M$ à partir d'un certain rang, alors $\ell\le M$ (prendre $v_n=M$).
Démonstration : Passage à la limite dans une inégalité large
Preuve
Par l'absurde, supposons $\ell>\ell'$. La suite $w_n=u_n-v_n$ converge vers $\ell-\ell'>0$. D'après la section précédente, il existe $N_1$ tel que $w_n\ge\frac{\ell-\ell'}2>0$ pour $n\ge N_1$. Par hypothèse, il existe $N_2$ tel que $w_n\le0$ pour $n\ge N_2$. Pour $n\ge\max(N_1,N_2)$, on obtient $0<w_n\le0$ : contradiction. Donc $\ell\le\ell'$.
Inégalités strictes et existence des limites
Le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes : pour tout $n\ge1$, $\frac1n>0$, mais $\lim\frac1n=0$. De $u_n<v_n$ on déduit seulement $\ell\le\ell'$.
Ce théorème suppose que les deux limites existent : il ne prouve aucune convergence. Écrire « $u_n\le v_n$ donc $\lim u_n\le\lim v_n$ » sans avoir justifié l'existence des limites est une faute.
S’entraîner
- Revenir à la définition de la limite
- Lever des formes indéterminées
- Trois encadrements
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Un produit infini par la limite monotone
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Passage à la limite dans une inégalité large