Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Des lois conjointes aux lois marginales
Des lois conjointes aux lois marginales : énoncé (MPSI)
Propriété
Des lois conjointes aux lois marginales
Pour tout $x\in X(\Omega)$ et tout $y\in Y(\Omega)$, $$P(X=x)=\sum_{y\in Y(\Omega)}P(X=x,Y=y),\qquad P(Y=y)=\sum_{x\in X(\Omega)}P(X=x,Y=y).$$
Démonstration : Des lois conjointes aux lois marginales
Démonstration
Les événements $(Y=y)$, $y\in Y(\Omega)$, forment un système complet. La formule des probabilités totales (version sans conditionnement) donne $P(X=x)=\sum_{y}P\big((X=x)\cap(Y=y)\big)$. Même raisonnement pour $Y$.
S’entraîner
- Deux tirages sans remise
- Somme et différence de deux Bernoulli
- Somme de deux lois binomiales indépendantes
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Des lois conjointes aux lois marginales