Loi conditionnelle : définition (MPSI)
Loi conditionnelle
Soit $x\in X(\Omega)$ tel que $P(X=x)>0$. La loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=x)$ est la loi de $Y$ pour la probabilité $P_{(X=x)}$, c'est-à-dire $$y\mapsto P(Y=y\mid X=x)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(X=x)}.$$
Un couple construit en deux étapes
On choisit $X$ uniformément dans $\{1,2,3\}$, puis, $X$ valant $i$, on choisit $Y$ uniformément dans $[\![1,i]\!]$. Ainsi $P(Y=j\mid X=i)=\frac1i$ pour $j\leqslant i$, et $0$ sinon. Par la formule des probabilités composées, $P(X=i,Y=j)=\frac13\cdot\frac1i$ pour $1\leqslant j\leqslant i\leqslant3$.
| $Y=1$ | $Y=2$ | $Y=3$ | loi de $X$ | |
|---|---|---|---|---|
| $X=1$ | $1/3$ | $0$ | $0$ | $1/3$ |
| $X=2$ | $1/6$ | $1/6$ | $0$ | $1/3$ |
| $X=3$ | $1/9$ | $1/9$ | $1/9$ | $1/3$ |
| loi de $Y$ | $11/18$ | $5/18$ | $2/18$ | $1$ |
La loi de $Y$ s'obtient en sommant les colonnes : $P(Y=1)=\frac13+\frac16+\frac19=\frac{6+3+2}{18}=\frac{11}{18}$, etc.
Loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y=1)$ : $$P(X=1\mid Y=1)=\frac{1/3}{11/18}=\frac{6}{11},\quad P(X=2\mid Y=1)=\frac{3}{11},\quad P(X=3\mid Y=1)=\frac{2}{11}.$$
Les marginales ne déterminent pas la loi conjointe
Soit $X\sim\mathcal{B}(\frac12)$. Les couples $(X,X)$ et $(X,1-X)$ ont les mêmes lois marginales (toutes égales à $\mathcal{B}(\frac12)$), mais pas la même loi conjointe : $P(X=1,X=1)=\frac12$ alors que $P(X=1,1-X=1)=0$. Connaître les lois de $X$ et de $Y$ ne suffit pas pour calculer $P(X=x,Y=y)$, sauf hypothèse d'indépendance.
S’entraîner
- Plus grand numéro tiré
- Loi du carré d'une variable uniforme
- Tirs sur une cible
- Loi définie à une constante près
- Deux tirages sans remise
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Loi conditionnelle