Soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes de loi $\mathcal B(\frac12)$. On pose $S=X+Y$ et $D=X-Y$.
- Déterminer les lois de $S$ et de $D$.
- Calculer $\mathrm{Cov}(S,D)$.
- $S$ et $D$ sont-elles indépendantes ?
- Plus généralement, montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables réelles de même loi, alors $\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)=0$.
Dresser le tableau des quatre valeurs possibles de $(X,Y)$, chacune de probabilité $\frac14$.
Développer $\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)$ par bilinéarité.
Chercher une case nulle dans la loi conjointe de $(S,D)$.
- Par indépendance, chacun des couples $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ a probabilité $\frac14$.
| $(X,Y)$ | $(0,0)$ | $(0,1)$ | $(1,0)$ | $(1,1)$ |
|---|---|---|---|---|
| $S$ | $0$ | $1$ | $1$ | $2$ |
| $D$ | $0$ | $-1$ | $1$ | $0$ |
Donc $P(S=0)=\frac14$, $P(S=1)=\frac12$, $P(S=2)=\frac14$ (c'est $\mathcal B(2,\frac12)$), et $P(D=-1)=\frac14$, $P(D=0)=\frac12$, $P(D=1)=\frac14$.
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Par bilinéarité et symétrie, $$\mathrm{Cov}(S,D)=\mathrm{Cov}(X,X)-\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Cov}(Y,X)-\mathrm{Cov}(Y,Y)=V(X)-V(Y)=0.$$
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$P(S=0,D=1)=0$ car $S=0$ impose $X=Y=0$, donc $D=0$. Or $P(S=0)P(D=1)=\frac1{16}\neq0$. Donc $S$ et $D$ ne sont pas indépendantes, bien que leur covariance soit nulle.
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Le calcul de la question 2 n'utilise que la bilinéarité : $\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)=V(X)-V(Y)$. Si $X$ et $Y$ ont même loi, elles ont même variance (la variance ne dépend que de la loi), donc la covariance est nulle.
$S\sim\mathcal B(2,\frac12)$ ; $P(D=-1)=P(D=1)=\frac14$, $P(D=0)=\frac12$ ; $\mathrm{Cov}(S,D)=0$ ; $S$ et $D$ non indépendantes