Exercice corrigé : Somme de deux lois binomiales indépendantes

Soient $n,m\in\mathbb N^*$, $p\in\,]0,1[$, et $X\sim\mathcal B(n,p)$, $Y\sim\mathcal B(m,p)$ deux variables indépendantes. On pose $S=X+Y$. On convient que $\binom ab=0$ si $b<0$ ou $b>a$.

1. Justifier la formule de Vandermonde : pour $s\in[\![0,n+m]\!]$, $\sum_{k=0}^s\binom nk\binom m{s-k}=\binom{n+m}s$.
2. En déduire la loi de $S$.
3. Pour $s\in[\![0,n+m]\!]$, déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $(S=s)$. Que remarque-t-on ? Interpréter à l'aide d'un tirage sans remise.
4. Calculer l'espérance de cette loi conditionnelle, c'est-à-dire $\sum_kk\,P(X=k\mid S=s)$.