- Montrer que $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt$ converge.
- Montrer que $t\mapsto\frac{\sin t}t$ n'est pas intégrable sur $]0,+\infty[$. On pourra minorer $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}t\,\mathrm dt$.
En $0$, l'intégrale est faussement impropre. En $+\infty$, intégrer par parties sur $[1,x]$.
Sur $[k\pi,(k+1)\pi]$, $\frac1t\ge\frac1{(k+1)\pi}$ et $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,\mathrm dt=2$.
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$\frac{\sin t}t\to1$ en $0$ : pas de problème en $0$. Sur $[1,x]$, par parties avec $u'=\sin t$ et $v=\frac1t$ : $$\int_1^x\frac{\sin t}t\,\mathrm dt=\left[-\frac{\cos t}t\right]_1^x-\int_1^x\frac{\cos t}{t^2}\,\mathrm dt.$$ Le crochet tend vers $\cos1$, et $\left|\frac{\cos t}{t^2}\right|\le\frac1{t^2}$ : la dernière intégrale converge quand $x\to+\infty$. Donc $\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}t$ converge, et $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t$ aussi.
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Pour $k\ge0$ : $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}t\,\mathrm dt\ge\frac1{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,\mathrm dt=\frac2{(k+1)\pi}$. Donc $$\int_0^{(n+1)\pi}\frac{|\sin t|}t\,\mathrm dt\ge\frac2\pi\sum_{k=0}^n\frac1{k+1}\xrightarrow[n\to+\infty]{}+\infty.$$ La fonction $x\mapsto\int_0^x\frac{|\sin t|}t$ est croissante et non majorée : $\frac{\sin t}t$ n'est pas intégrable.
$\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt$ converge, mais pas absolument.