Exercice 11 · L'intégrale de Fresnel $\int_0^{+\infty}\sin(t^2)\,\mathrm dt$
ConcoursClassique d'oral (Mines-Télécom, CCINP)●●●- Montrer que $\int_0^{+\infty}\sin(t^2)\,\mathrm dt$ converge, bien que $\sin(t^2)$ ne tende pas vers $0$ en $+\infty$.
- La fonction $t\mapsto\sin(t^2)$ est-elle intégrable sur $[0,+\infty[$ ?
Couper en $1$ et poser $u=t^2$ sur $[1,+\infty[$.
On se ramène à $\int_1^{+\infty}\frac{\sin u}{2\sqrt u}\,\mathrm du$, à traiter comme $\frac{\sin u}u$.
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Sur $[0,1]$, la fonction est continue : pas de problème. Sur $[1,+\infty[$, $t\mapsto t^2$ est une bijection $\mathcal C^1$ croissante sur $[1,+\infty[$ ; avec $u=t^2$, $\mathrm dt=\frac{\mathrm du}{2\sqrt u}$, et $\int_1^{+\infty}\sin(t^2)\,\mathrm dt$ a la même nature que $\int_1^{+\infty}\frac{\sin u}{2\sqrt u}\,\mathrm du$. Par parties sur $[1,X]$ : $$\int_1^X\frac{\sin u}{2\sqrt u}\,\mathrm du=\left[-\frac{\cos u}{2\sqrt u}\right]_1^X-\int_1^X\frac{\cos u}{4u^{3/2}}\,\mathrm du.$$ Le crochet a une limite finie, et $\left|\frac{\cos u}{4u^{3/2}}\right|\le\frac1{4u^{3/2}}$ est intégrable : convergence. Pourtant $\sin(t^2)$ vaut $1$ en chaque $t=\sqrt{\frac\pi2+2k\pi}$ : la fonction n'a pas de limite en $+\infty$.
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Non. Le même changement de variable montre que $\int_1^{+\infty}|\sin(t^2)|\,\mathrm dt$ a la nature de $\int_1^{+\infty}\frac{|\sin u|}{2\sqrt u}\,\mathrm du$, et $\frac{|\sin u|}{2\sqrt u}\ge\frac{|\sin u|}{2u}$ pour $u\ge1$, dont l'intégrale diverge (exercice sur $\frac{\sin t}t$).
L'intégrale converge, mais la fonction n'est pas intégrable et n'a pas de limite en $+\infty$.