Calculer les puissances d'une matrice : méthode (MP)
Calculer les puissances d'une matrice
- Par diagonalisation : si $A=PDP^{-1}$, alors $A^k=PD^kP^{-1}$ avec $D^k=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)$. Il faut calculer $P^{-1}$.
- Par un polynôme annulateur $Q$ de degré $d$ (souvent $\pi_A$) : division euclidienne $X^k=Q_kQ+R_k$ avec $\deg R_k<d$, d'où $A^k=R_k(A)$. Les coefficients de $R_k$ s'obtiennent en évaluant en les racines de $Q$ ; en une racine multiple $\lambda$, on dérive l'égalité, car $\lambda$ est aussi racine de $Q'$.
- Par décomposition $A=\lambda I_n+N$, $N$ nilpotente d'indice $q$ : $\lambda I_n$ et $N$ commutent, et la formule du binôme donne, pour $k\geq q-1$, $A^k=\sum_{j=0}^{q-1}\binom kj\lambda^{k-j}N^j$.
Puissances de A = I + J
Pour $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$, $\pi_A=(X-1)(X-4)$. On écrit $X^k=Q_k(X)(X-1)(X-4)+a_kX+b_k$. En évaluant en $1$ et en $4$ : $a_k+b_k=1$ et $4a_k+b_k=4^k$, d'où $a_k=\frac{4^k-1}{3}$ et $b_k=\frac{4-4^k}{3}$. Donc $$A^k=\frac{4^k-1}{3}A+\frac{4-4^k}{3}I_3=I_3+\frac{4^k-1}{3}J,$$ puisque $A=I_3+J$. Contrôle : $k=0$ donne $I_3$, $k=1$ donne $A$, $k=2$ donne $I_3+5J$, et directement $A^2=I_3+2J+J^2=I_3+5J$.
Puissances de B : racine double
Pour $B$ de la section 7, $\pi_B=(X-1)(X-2)^2$. On écrit $X^k=Q_k\pi_B+R_k$ avec $R_k=aX^2+bX+c$. On évalue en $1$ et en $2$, puis on dérive ($kX^{k-1}=Q_k'\pi_B+Q_k\pi_B'+R_k'$) et on évalue en $2$, racine de $\pi_B$ et de $\pi_B'$ : $$\begin{cases}a+b+c=1\\4a+2b+c=2^k\\4a+b=k\,2^{k-1}\end{cases}$$ On obtient $a=(k-2)2^{k-1}+1$, $b=2^{k+2}-3k\,2^{k-1}-4$, $c=(k-3)2^k+4$, et $B^k=aB^2+bB+cI_3$. Contrôle pour $k=3$ : $R_3=5X^2-8X+4$, et $X^3-R_3=X^3-5X^2+8X-4=\pi_B$.
S’entraîner
- Éléments propres et diagonalisation d'une matrice 3×3
- Une matrice de permutation
- Trigonalisation et puissances d'une matrice 2×2
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Diagonalisabilité d'une famille de matrices triangulaires
Dans le cours
Réduction des endomorphismes : Calculer les puissances d'une matrice